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En este artículo, te ofrecemos una serie de ejercicios resueltos para determinar el área de curvas planas en coordenadas polares, extraídos del renombrado libro «Cálculo Diferencial e Integral «de Granville, explora con nosotros la elegancia y precisión de las coordenadas polares mientras desentrañamos los misterios de las áreas encerradas por curvas.
¡Prepárate para Dominar este Concepto Fundamental de las Matemáticas con Nuestra Guía Detalla y Ejemplos Prácticos!
Índice
- ¿Cómo Calcular el Área de una Región en Coordenadas Polares?
- Pasos para Calcular el Área en Coordenadas Polares:
- Resolución de Problemas en Coordenadas Polares: Un Enfoque Detallado y Metodológico.
- 1.-Hallar el área de la superficie limitada por el círculo ϱ = a cos θ y las rectas θ= 0° y θ =60°.
- 2.- Hallar el área total d e la superficie limitada por la curva ϱ =a Sen 2θ.
- 3.- Calcular el área de la superficie encerrada por la siguiente curva ϱ² =4 Sen2θ.
- 4.-Calcular el área de la superficie encerrada por la siguiente curva ϱ =a Cos 3θ.
- 5.- Calcular el área de la superficie encerrada por la siguiente curva ϱ =a(1-Cos θ).
- 6.- Calcular el área de la superficie encerrada por la siguiente curva ϱ =2-Cos θ.
- 7.- Calcular el área de la superficie encerrada por la siguiente curva ϱ =Sen² (θ/2).
- 8.- Calcular el área de la superficie encerrada por la siguiente curva ϱ = 1/2 + Cos 2θ.
- 9.- Calcular el área de la superficie encerrada por la siguiente curva ϱ = 2 + Sen 3θ.
- 10.- Calcular el área de la superficie encerrada por la siguiente curva ϱ =3 + Cos 3θ.
- 11.- Calcular el área de la superficie encerrada por la siguiente curva ϱ = a Cos θ +b Sen θ.
- 12.- Calcular el área de la superficie encerrada por la siguiente curva ϱ = 2 Cos² (θ/2).
- 13.- Calcular el área de la superficie encerrada por la siguiente curva ϱ =a Sen nθ.
- 14.- Calcular el área de la superficie encerrada por la siguiente curva ϱ = Cos 3θ – Cos θ.
- 15.- Calcular el área de la superficie encerrada por la siguiente curva ϱ = Cos 3θ – 2Cos θ.
- 16. Hallar e! área de la superficie limitada por la parábola ϱ (1 + cosθ ) = a y las rectas θ = O y θ=120°.
- 17. Hallar el área de la superficie limitada por la hipérbola ϱ² cos 2θ= a² y las rectas θ = 0° y θ = 30°.
- 18. Demostrar que e! área de la superficie engendrada por e! radio vector de la espiral ϱ = e° es igual a un cuarto del área de! cuadrado construido sobre el radio vector.
- 19. Hallar el área de la parte de la parábola ϱ= a Sec² (θ/2) que es interceptada entre la cuna y el lado recto, o sea, la cuerda trazada por el foco. perpendicular al eje de simetría.
- 20. Demostrar que el área de la superficie limitada por dos radios vectores cualesquiera de la espiral hiperbólica ϱ.θ = a. es proporcional a la diferencia de las longitudes de esos radios.
- 21.- Hallar el área de la elipse ϱ²= (a² b²)/(a² Sen² θ + b² Cos²θ)
- 22. Hallar el área total de la superficie limitada por la curva ϱ = a (sen 2θ + cos 2θ).
- 23. Hallar el área bajo OX dentro de la curva ϱ3 = a sen (θ/3).
- 24. Hallar el área de la superficie limitada por ϱ²= a² Sen 4θ .
- 25.- Hallar el área de las superficie limitadas por la siguiente curva y las rectas dadas ϱ=Tan θ, θ = 0° y θ =1/4 π.
- 26.- Hallar el área de las superficie limitadas por la siguiente curva y las rectas dadas ϱ=Tan θ, θ = 0° y θ =1/4 π.
- 27.-Hallar el área de las superficie limitadas por la siguiente curva y las rectas dadas ϱ=Sec θ + Tan θ, θ = 0° y θ =1/4 π.
- 28.-Hallar el área de las superficie limitadas por la siguiente curva y las rectas dadas ϱ= a Sen θ + b Cos θ, θ = 0° y θ =1/2 π.
¿Cómo Calcular el Área de una Región en Coordenadas Polares?
Para calcular el área de una región en coordenadas polares, se utiliza una integral definida que depende de la forma de la curva que describe la frontera de la región. La fórmula general para el área en coordenadas polares es:
Donde:
- A es el área de la región.
- ρ = r(θ) es la función que describe la distancia radial desde el origen hasta un punto de la curva para un ángulo θ.
- α y β son los límites de integración, que corresponden a los valores mínimos y máximos del ángulo θ que delimitan la región a calcular.
Pasos para Calcular el Área en Coordenadas Polares:
- Identificar la función radial r(θ): Determina la expresión de ρ = r(θ) que describe la curva o la frontera de la región que deseas medir. Esto depende de cómo se define la curva en coordenadas polares.
- Definir los límites de integración: Identifica los valores de α y β entre los cuales se desea calcular el área. Estos valores pueden estar dados directamente en el problema o pueden determinarse según la geometría de la región.
- Configurar la integral: Sustituye la función radial ρ = r(θ) en la fórmula del área y establece los límites de integración.
- Resolver la integral: Realiza la integración para obtener el valor del área.
ECUACIÓN PARA CALCULAR EL ÁREA DE UNA CURVA EN COORDENADAS POLARES
Johann Carl Friedrich Gauss, matemático, astrónomo y físico alemán que realizo muchas contribuciones a las ciencias.
Resolución de Problemas en Coordenadas Polares: Un Enfoque Detallado y Metodológico.
Recuerda que para entender la solución de los siguientes Ejercicios del Libro de Calculo Diferencial e Integral Granville, Pagina 320, debes de contar con conocimientos de Reglas de Derivación.
Ejercicio 1Ejercicio 2Ejercicio 3Ejercicio 4Ejercicio 5Ejercicio 6Ejercicio 7
1.-Hallar el área de la superficie limitada por el círculo ϱ = a cos θ y las rectas θ= 0° y θ =60°.
2.- Hallar el área total d e la superficie limitada por la curva ϱ =a Sen 2θ.
3.- Calcular el área de la superficie encerrada por la siguiente curva ϱ² =4 Sen2θ.
4.-Calcular el área de la superficie encerrada por la siguiente curva ϱ =a Cos 3θ.
5.- Calcular el área de la superficie encerrada por la siguiente curva ϱ =a(1-Cos θ).
6.- Calcular el área de la superficie encerrada por la siguiente curva ϱ =2-Cos θ.
7.- Calcular el área de la superficie encerrada por la siguiente curva ϱ =Sen² (θ/2).
Ejercicio 8Ejercicio 9Ejercicio 10Ejercicio 11Ejercicio 12Ejercicio 13Ejercicio 14
8.- Calcular el área de la superficie encerrada por la siguiente curva ϱ = 1/2 + Cos 2θ.
9.- Calcular el área de la superficie encerrada por la siguiente curva ϱ = 2 + Sen 3θ.
10.- Calcular el área de la superficie encerrada por la siguiente curva ϱ =3 + Cos 3θ.
11.- Calcular el área de la superficie encerrada por la siguiente curva ϱ = a Cos θ +b Sen θ.
12.- Calcular el área de la superficie encerrada por la siguiente curva ϱ = 2 Cos² (θ/2).
13.- Calcular el área de la superficie encerrada por la siguiente curva ϱ =a Sen nθ.
14.- Calcular el área de la superficie encerrada por la siguiente curva ϱ = Cos 3θ – Cos θ.
Pitágoras fue un filósofo y matemático griego. Contribuyó de manera significativa en el avance de las matemática, la geometría y la aritmética.
Ejercicio 15Ejercicio 16Ejercicio 17Ejercicio 18Ejercicio 19Ejercicio 20Ejercicio 21
15.- Calcular el área de la superficie encerrada por la siguiente curva ϱ = Cos 3θ – 2Cos θ.
16. Hallar e! área de la superficie limitada por la parábola ϱ (1 + cosθ ) = a y las rectas θ = O y θ=120°.
17. Hallar el área de la superficie limitada por la hipérbola ϱ² cos 2θ= a² y las rectas θ = 0° y θ = 30°.
18. Demostrar que e! área de la superficie engendrada por e! radio vector de la espiral ϱ = e° es igual a un cuarto del área de! cuadrado construido sobre el radio vector.
19. Hallar el área de la parte de la parábola ϱ= a Sec² (θ/2) que es interceptada entre la cuna y el lado recto, o sea, la cuerda trazada por el foco. perpendicular al eje de simetría.
20. Demostrar que el área de la superficie limitada por dos radios vectores cualesquiera de la espiral hiperbólica ϱ.θ = a. es proporcional a la diferencia de las longitudes de esos radios.
21.- Hallar el área de la elipse ϱ²= (a² b²)/(a² Sen² θ + b² Cos²θ)
Ejercicio 22Ejercicio 23Ejercicio 24Ejercicio 25Ejercicio 26Ejercicio 27Ejercicio 28
22. Hallar el área total de la superficie limitada por la curva ϱ = a (sen 2θ + cos 2θ).
23. Hallar el área bajo OX dentro de la curva ϱ3 = a sen (θ/3).
24. Hallar el área de la superficie limitada por ϱ²= a² Sen 4θ .
25.- Hallar el área de las superficie limitadas por la siguiente curva y las rectas dadas ϱ=Tan θ, θ = 0° y θ =1/4 π.
26.- Hallar el área de las superficie limitadas por la siguiente curva y las rectas dadas ϱ=Tan θ, θ = 0° y θ =1/4 π.
27.-Hallar el área de las superficie limitadas por la siguiente curva y las rectas dadas ϱ=Sec θ + Tan θ, θ = 0° y θ =1/4 π.
28.-Hallar el área de las superficie limitadas por la siguiente curva y las rectas dadas ϱ= a Sen θ + b Cos θ, θ = 0° y θ =1/2 π.