Definición de la Circunferencia
En el plano cartesiano, una circunferencia es el lugar geométrico formado por todos los puntos que se encuentran a una distancia constante de un punto fijo.
– El punto fijo se denomina «centro«.
– La distancia constante se denomina «radio«.
– La circunferencia representa únicamente el «contorno«; la región interior corresponde al círculo.
Sea:
C=(h,k); el centro de la circunferencia y sea: r>0 su radio. Si: P=(x,y) es cualquier punto perteneciente a la circunferencia, entonces, por definición: d(P,C)=r
Es decir, la distancia entre P=(x,y) y el centro C=(h,k) debe ser exactamente igual al radio «r«.
Elementos Fundamentales de la Circunferencia
Una circunferencia queda completamente determinada cuando conocemos:
1. Centro: C=(h,k)
2. Radio: r>0
3. Ecuación: Relación matemática que deben satisfacer todos sus puntos.
Por tanto, las variables tienen el siguiente significado:
x — Coordenada horizontal de un punto de la circunferencia.
y — Coordenada vertical
h — Coordenada «x» del centro
k — Coordenada «y» del centro
r — Radio de la circunferencia
C=(h,k) — Centro de la Circunferencia.
La Ecuación de la Circunferencia en Forma Ordinaria es:
La ecuación ordinaria de la circunferencia permite identificar instantáneamente el centro y el radio de la figura a partir de sus coordenadas en el plano cartesiano, esta dada por la ecuación:
El centro de la circunferencia como mencionamos lineas arriba y el radio es:
Aplicación en la Ingeniería de la Circunferencia
La circunferencia es un concepto elemental de la geometría analítica, pero tiene numerosas aplicaciones en ingeniería porque permite representar matemáticamente trayectorias, superficies, tolerancias y movimientos alrededor de un punto fijo.
- Ingeniería mecánica
En mecanismos rotatorios, la posición de un elemento que gira alrededor de un eje puede describirse mediante una circunferencia. Por ejemplo, la trayectoria de un punto situado a una distancia r de un eje de rotación tiene radio constante. Esto aparece en: engranajes, ruedas, poleas, mecanismos biela-manivela, brazos articulados, sistemas rotatorios, etc.
- Ingeniería eléctrica y electrónica
Las representaciones geométricas basadas en circunferencias aparecen en el análisis de señales y sistemas eléctricos. En particular, determinados fenómenos asociados con señales sinusoidales pueden interpretarse mediante movimientos circulares y representaciones en el plano complejo.
- Ingeniería civil y estructural
Las formas circulares aparecen en: arcos, túneles, tuberías, depósitos, estructuras curvas, diseño geométrico de carreteras, etc. La ecuación permite determinar matemáticamente la posición de puntos sobre una estructura circular.
- Ingeniería de control y robótica
En robótica, una trayectoria circular puede utilizarse para describir el movimiento de un efector final alrededor de un punto. Si el centro de la trayectoria es: C=(h,k) y la distancia al centro permanece constante: r=C, entonces la trayectoria está descrita por:
Por ello, la ecuación de la circunferencia constituye una herramienta básica para modelar trayectorias geométricas.
Deducción Matemática / Demostración de la Ecuación de la Circunferencia en Forma Ordinaria.
La ecuación ordinaria no es una fórmula que simplemente se memoriza. Se obtiene directamente a partir de la fórmula de distancia entre dos puntos.
Paso 1. Consideramos el centro
Sea el centro de la circunferencia: C=(h,k) y sea: P=(x,y) un punto cualquiera perteneciente a la circunferencia. Como P está sobre la circunferencia, su distancia al centro debe ser igual al radio, osea: d(P,C)=r
Paso 2. Aplicamos la fórmula de distancia
La distancia entre dos puntos: P1=(x1,y1) y P2=(x2,y2) está dada por la ecuación:
Aplicándola a: P=(x,y) y: C=(h,k) obtenemos:
Donde d(P,C)=distancia entre el centro de la circunferencia y un punto que esta sobre ella, pero sabemos, por definición de circunferencia, que: d(P,C)=r. Por lo tanto:
la cuál es la ecuación ordinaria de la circunferencia.
Paso 3: Interpretación de los signos
Un punto importante es comprender correctamente los signos. La ecuación tiene la forma:
Por tanto:
- si aparece (x-4)^2, entonces h=4;
- si aparece (x+4)^2, entonces h=-4;
- si aparece (y-3)^2, entonces k=3;
- si aparece (y+3)^2, entonces k=-3.
Caso particular: Centro en el Origen de la Circunferencia
Si el centro se encuentra en: C=(0,0) entonces: h=0 y k=0, Sustituyendo en la ecuación ordinaria:
por lo que:
Esta es la ecuación de una circunferencia en su forma canonica, cuyo centro coincide con el origen del sistema cartesiano.
Los Siguientes Problemas Resueltos de la Circunferencia son del Libro GEOMETRÍA ANALÍTICA de CHARLES H. LEHMANN
Escribir la ecuación de la circunferencia de centro C (- 3, – 7) y radio 7.
Los extremos de un diámetro de una circunferencia son los puntos A (2, 3) y B (- 4, 5). Hallar la ecuación de la curva.
Hallar la ecuación de la circunferencia cuyo centro es el punto C (7, – 6) y que pasa por el punto A (2, 2).
Hallar la ecuación de la circunferencia de centro C (2, – 4) y que es tangente al eje Y.
Una circunferencia tiene su centro en el punto C(0, – 2) y es tangente a la recta 5x – 12y + 2 = 0. Hallar su ecuación.
Hallar la ecuación de la circunferencia cuyo centro es el punto (-4, -1) y que es tangente a la recta 3x + 2y – 12 = 0.
La ecuación de una circunferencia es (x – 3)^2 + (y + 4)^ 2 = 36. Demostrar que el punto A(2, – 5) es interior a la circunferencia y que el punto B (- 4, 1) es exterior.
Hallar la ecuación de la circunferencia de radio 5 y cuyo centro es el punto de intersección de las rectas 3x – 2y – 24 = 0, 2x + 7y + 9 = 0.
Hallar la ecuación de la circunferencia que pasa por el punto A (7, – 5) y cuyo centro es el punto de intersección de las rectas 7x – 9y – 10 = O y 2x – 5y + 2 = 0.
Una cuerda de la circunferencia x^2 + y^2 = 25 esta sobre la recta cuya ecuación es x – 7y + 25 = 0. Hallese la longitud de la cuerda.