Una armadura es una estructura formada por barras rectas unidas en sus extremos mediante nudos (articulaciones), dispuestas de manera que forman triángulos.
La idea clave es el triángulo: Si unes tres barras con pasadores formando un triángulo, la figura no se deforma. En cambio, un cuadrado con pasadores se enchueca y se convierte en un rombo. Por eso toda armadura se construye a base de triángulos.
Estructuras Compuestas, son el Puente entre un Cuerpo Rígido y un Sistema de Piezas
En artículos anteriores, el objeto de estudio era siempre una sola pieza rígida, y cualquier fuerza que actuara sobre ella venía de «afuera»: un apoyo, una carga, una cuerda; el equilibrio se resolvía sin preguntarse qué pasaba dentro de la pieza.
El giro que da este post es tratar sistemas que no son una sola pieza, sino un ensamble de varios elementos unidos entre sí, esto trae una pregunta nueva que antes no existía: ¿con qué fuerza se están sosteniendo unas partes a otras? Esas fuerzas de conexión, invisibles cuando se mira el sistema completo por fuera, se vuelven visibles en cuanto se separan las piezas.
Un Ejemplo para Fijar la Idea
Piensa en una grúa armada con tres brazos rígidos conectados mediante pasadores, sostenida por un pivote fijo en un extremo y un cable en otro punto, cargando un peso.
- Si dibujas el diagrama de cuerpo libre de la grúa entera, solo verás lo que el mundo exterior observa: el peso que carga, la reacción del pivote (con sus dos componentes) y la tensión del cable. Nada más.
- Pero si separas cada uno de los tres brazos y le haces su propio diagrama, en los puntos donde se tocaban aparecen fuerzas que antes no estaban ahí. Esas fuerzas eran «internas» cuando la grúa se veía como un todo, y se convierten en «externas» en cuanto aíslas una sola pieza.
La conclusión práctica es simple: si quieres conocer una fuerza interna, no hay atajo — tienes que desarmar la estructura y analizar la pieza por separado.
La Regla que NO se Puede Romper al Separar Piezas
Cuando dibujas las fuerzas en un punto de conexión compartido por dos piezas, no puedes inventarlas libremente: deben cumplir la tercera ley de Newton, concretamente: misma magnitud, misma línea de acción, sentidos contrarios.
Es decir, si el brazo 1 empuja al brazo 2 con cierta fuerza en el punto donde se unen, el brazo 2 empuja de vuelta al brazo 1 con esa misma fuerza, pero en dirección opuesta, esto no es una convención de dibujo: es uno de los principios básicos de toda la mecánica, respaldado por evidencia experimental, y si se dibuja mal en un solo punto de conexión, el error se propaga a toda la solución.
Tres Tipos de Sistemas, una Sola Pregunta Clave
Existen básicamente tres tipos de estructuras compuestas, y la pregunta que las separa no es qué tan grandes son ni para qué sirven a simple vista, sino algo más técnico: ¿cómo está cargado cada elemento individual?
Existen dos posibilidades para un elemento:
- Trabaja con dos fuerzas nada más, aplicadas en sus dos extremos, iguales, opuestas y alineadas con el propio elemento. Esto significa que el elemento solo puede estirarse o comprimirse a lo largo de su eje — no se flexiona.
- Trabaja con tres fuerzas o más, y estas fuerzas ya no tienen por qué estar alineadas con el elemento. En este caso el elemento sí puede flexionarse, además de estirarse o comprimirse.
Con el Anterior Criterio se Arma la Clasificación
| Tipo de estructura | Todos sus elementos trabajan con… | ¿Tiene piezas móviles? | Propósito |
|---|---|---|---|
| Armadura | dos fuerzas únicamente | No | Soportar carga |
| Armazón | al menos uno con tres fuerzas o más | No | Soportar carga |
| Máquina | al menos uno con tres fuerzas o más | Sí | Transmitir o modificar una fuerza |
En cuanto aparece un solo elemento que reciba tres o más fuerzas no alineadas, el sistema deja de ser armadura y pasa a llamarse armazón (si es fijo) o máquina (si tiene partes que se mueven, como en un mecanismo con manivela o unas pinzas).
Con esta clasificación como punto de partida, el post dedica primero varias secciones exclusivamente a las armaduras — su definición formal, cómo se construyen a partir de triángulos, y dos métodos de solución (nudo por nudo, o cortando secciones completas) — y después extiende el análisis a los armazones y las máquinas, donde ya no se puede aprovechar la simplicidad de «solo tracción o compresión» y hay que tratar a cada pieza con su propio equilibrio de fuerzas y momentos.
Fundamentos sobre Armaduras
Para poder analizar una armadura de forma sencilla, se aceptan estas simplificaciones:
1. Los nudos son pasadores lisos. Aunque en la realidad las barras se sueldan o se atornillan, se supone que los nudos permiten el giro libre y no transmiten momento.
2. Las cargas se aplican solo en los nudos. Nunca a la mitad de una barra.
3. El peso de las barras se desprecia. o, si se toma en cuenta, se reparte mitad y mitad en sus dos nudos extremos.
4. Los ejes de las barras concurren en el nudo, sin excentricidades.
Todas las Barras son Elementos de dos Fuerzas
Esta es la idea central de todo el post, con las hipótesis anteriores, cada barra recibe fuerzas únicamente en sus dos extremos. Un cuerpo así se llama elemento de dos fuerzas, y ya sabes de post anteriores que en él las fuerzas deben ser: de igual magnitud, de sentido opuesto y dirigidas a lo largo de la línea que une los dos puntos.
Por lo tanto, cada barra trabaja únicamente a fuerza axial: se estira (tracción) o se aplasta (compresión), NO hay flexión ni cortante.
Barra en TRACCIÓN: F > 0 y Barra en COMPRESIÓN: F < 0
Armaduras simples
Una armadura simple se construye así:
– Empiezas con un triángulo (3 barras, 3 nudos).
– Cada vez que quieras agrandarla, agregas dos barras nuevas y un nudo nuevo, cuidando que el nudo nuevo no quede alineado con los dos nudos a los que se conecta.
Prácticamente todas las armaduras que veremos en este post (Pratt, Howe, Warren, Fink) son armaduras simples.
Determinación Estática de Armaduras: La Fórmula de Conteo
Para una armadura plana: La suma del número de barras (m) y el número de reacciones (r) debe ser igual al doble del número de nudos (2n).
m + r = 2n
Para una armadura espacial: La suma del número de barras (m) y el número de reacciones (r) debe ser igual al triple del número de nudos (3n).
m + r = 3n
En la fórmula de conteo tenemos que:
– m = número de barras
– r = número de reacciones en los apoyos
– n = número de nudos
Significado
* m + r > 2n ( Hiperestática: Estable sobran barras, requiere Resistencia de Materiales)
* m + r = 2n (Isostática: Estable se puede resolver solo con Estática ✔ )
* m + r < 2n (Mecanismo: Inestable Faltan barras → se colapsa )
Aplicación Armaduras en Ingeniería
¿Por qué se usan armaduras?, porque ahorran material; en una viga maciza sometida a flexión, la parte central (cerca del eje neutro) casi no trabaja: está de adorno y solo agrega peso, la armadura quita ese material y lo concentra en los cordones superior e inferior, que es donde sí sirve.
Además, como cada barra trabaja a fuerza axial pura, la tensión es la misma en toda la sección:
σ = F/A ⟹ A necesaria = | F | / σ
Esto hace que el diseño sea sencillo y que se aproveche el 100% del área. Las verás en: puentes, techos de naves industriales, torres de transmisión eléctrica, grúas, plumas de maquinaria, cubiertas de estadios y andamios.
Tipologías de Armaduras más Comunes
– Pratt. Las diagonales bajan hacia el centro, bajo carga de gravedad, las diagonales quedan en tracción y los montantes en compresión. Como las diagonales son las barras largas, conviene que estén en tracción (las barras largas comprimidas se pandean), es la más usada en acero.
– Howe. Es la Pratt al revés: las diagonales quedan en compresión y los montantes en tracción, se inventó cuando las diagonales se hacían de madera (buena a compresión) y los montantes de hierro (bueno a tracción).
– Warren. Zigzag de diagonales alternadas, sin montantes, cada diagonal alterna tracción y compresión, es la más económica en número de barras y nudos.
– Fink. Armadura de techo a dos aguas, su patrón en «W» sirve para acortar los tramos del par inclinado y evitar que se pandee, típica de naves industriales.
– Baltimore. Es una Pratt a la que se le agregan subdiagonales dentro de cada panel, sirve para puentes de gran claro, donde los paneles son muy largos.
– Armadura en voladizo (cantilever). Está apoyada de un solo lado, como la pluma de una grúa torre o una marquesina, aquí se invierten los papeles: el cordón superior trabaja a tracción y el inferior a compresión.
– Armadura basculante. Es un puente móvil que gira sobre un eje con contrapeso, lo interesante en ingeniería es que debe revisarse en varias posiciones (cerrado, medio abierto, abierto), porque al girar cambian los ángulos y, por lo tanto, cambian todas las fuerzas.
– Cubiertas de estadio y armaduras espaciales. Mallas tridimensionales (space frames) y domos, aquí se usan las ecuaciones en 3D.
El Detalle que Decide Todo se llama Pandeo
Una barra jalada falla cuando se alcanza la resistencia del material, pero una barra comprimida puede fallar mucho antes, por pandeo (se dobla hacia un lado), la carga que la hace pandear es:
Pcr = ((𝝅²)*E*I)/L² en donde:
-
- P = Carga crítica de pandeo (fuerza máxima que puede soportar la columna antes de perder estabilidad).
- E = Módulo de elasticidad (o módulo de Young) del material.
- I = Momento de inercia mínimo de la sección transversal de la columna.
- L = Longitud efectiva de la columna (que depende de las condiciones de apoyo en sus extremos).
Deducción Matemática / Demostración de
3.1 ¿De dónde sale que las barras solo trabajan axialmente?
Toma una barra suelta, solo recibe fuerzas en sus extremos A y B (hipótesis 2 y 3), llamemos FA y FB a esas fuerzas.
Paso 1. Equilibrio de fuerzas:
∑F = FA + FB = 0 de donde tenemos que FB = –FA
Ya que son iguales y opuestas.
Paso 2. Equilibrio de momentos tomando el punto A como centro. La fuerza FA pasa por A, así que su momento es cero, queda solo el momento de FB:
∑ MB = r B/A x FB (perpendicular a AB) = 0
Paso 3. Como la distancia AB no es cero, la única forma de que el momento sea cero es que la componente perpendicular de FB sea cero. Es decir, FB está alineada con AB.
Conclusión: La fuerza va a lo largo de la barra, por eso cada barra tiene una sola incógnita: su fuerza axial F.
3.2 ¿De dónde sale m + r = 2n?
Contemos incógnitas y ecuaciones:
– Una por cada barra (su fuerza axial): m
– Una por cada componente de reacción: r
– Total: m + r
Ecuaciones: Al aislar un nudo, todas las fuerzas que actúan en él concurren en un mismo punto. Por esta razón, la ecuación de momentos se cumple automáticamente ya que todos los brazos de palanca son cero. De este modo, solo quedan las ecuaciones de:
- ∑Fx = 0 y ∑Fy = 0 ; Es decir, 2 ecuaciones por nudo, y hay n nudos: total 2n ecuaciones. Para que el problema se pueda resolver con pura Estática, incógnitas = ecuaciones:
m + r = 2n; l.q.q.d
- En el espacio hay 3 ecuaciones por nudo ( ∑Fx = 0 , ∑Fy = 0 y Fz = 0), de ahí m + r = 3n. Comprobación rápida con el triángulo básico:
m = 3, r = 3, n = 3 → m + r = 3n. ; Ecuación: b + r = 3j
Tetraedro base: 6 barras, 6 reacciones, 4 nudos y su Comprobación: 6 + 6 = 12 = 3(4)✔
3.3 Las ecuaciones del método de los nudos
El método se basa en algo simple: si toda la armadura está en equilibrio, entonces cada nudo por separado también lo está, aíslas un nudo (diagrama de cuerpo libre) y planteas: ∑Fx = 0 y ∑Fy = 0.
Para descomponer la fuerza de una barra inclinada, usas triángulos semejantes, que es más rápido que andar calculando ángulos:
F/L = Fx/Δx = Fy/Δy; donde:
Δx, Δy son las proyecciones de la barra y L = √(Δx² + Δy²).
3.4 Nudos con condiciones especiales de carga (barras de fuerza cero)
Estos casos te ahorraran muchísimo trabajo, no son trucos: se demuestran en dos renglones eligiendo bien los ejes.
Caso 1 — Dos barras no alineadas, nudo sin carga → ambas valen cero.
Pon el eje x’ sobre una de las barras, y el eje y’ perpendicular a dicha barra, entonces:
∑ Fy’ = 0 ⇒ F2 sin Θ = 0, como las barras no están alineadas tenemos que:
Caso 2 — Dos barras no alineadas, con carga aplicada en la dirección de una de ellas → la otra vale cero.
Como x‘ esta sobre la barra 1, que es donde actúa la carga P, tenemos que:
Caso 3 — Tres barras, dos de ellas alineadas, nudo sin carga → la tercera vale cero.
Sabemos que x’ esta sobre las dos barras alineadas, de donde deducimos que:
Las dos barras alineadas simplemente se pasan la fuerza sin cambiarla.
Caso 4 — Cuatro barras formando dos parejas alineadas, sin carga → cada pareja tiene la misma fuerza: F1 = F2 y F3 = F4. Se demuestra igual, proyectando sobre cada una de las dos rectas.
Últimas Palabras sobre Análisis de Armaduras por el Método de Nodos.
Los siguientes ejercicios resueltos de armaduras por el método de nodos pertenecen al libro MECÁNICA VECTORIAL PARA INGENIEROS ESTÁTICA de E. Russell Johnston, Jr; Phillip J. Cornwell y Ferdinand P. Beer. Octava Edición
Utilice el método de los nodos para determinar la fuerza presente en cada elemento de las armaduras que muestran las siguientes figura. Establezca si los elementos están en tensión o en compresión.
Utilice el método de los nodos para determinar la fuerza presente en cada elemento de las armaduras que muestran las siguientes figura. Establezca si los elementos están en tensión o en compresión.
Utilice el método de los nodos para determinar la fuerza presente en cada elemento de las armaduras que muestran las siguientes figura. Establezca si los elementos están en tensión o en compresión.
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Utilice el método de los nodos para determinar la fuerza presente en cada elemento de las armaduras que muestran las siguientes figura. Establezca si los elementos están en tensión o en compresión.
Utilice el método de los nodos para determinar la fuerza presente en cada elemento de las armaduras que muestran las siguientes figura. Establezca si los elementos están en tensión o en compresión.
Determine la fuerza presente en cada elemento de la armadura que muestra la figura. Establezca si los elementos están en tensión o en compresión.
Determine la fuerza presente en cada elemento de la armadura Gambrel para techo mostrada en la figura. Establezca si los elementos se encuentran en tensión o en compresión.