ionesCuando miramos un puente, una grúa o una línea de transmisión, solemos pensar en las fuerzas que actúan sobre la estructura: el peso, el viento, las reacciones en los apoyos. Pero hay otra pregunta igual de importante: ¿qué fuerzas mantienen unidas las partes de cada elemento por dentro?, de eso depende que una viga resista o se rompa, y es lo que estudiamos en el análisis de fuerzas internas.
Tres Problemas, Tres Niveles de Análisis Estático
En estática, el estudio de las estructuras suele avanzar en tres pasos:
1. Fuerzas externas: Determinar las reacciones que actúan sobre la estructura completa.
2. Acciones entre elementos: Calcular las fuerzas que unen a los distintos elementos de un armazón o máquina.
3. Interacciones internas: Determinar qué fuerzas mantienen unidas las distintas partes de un mismo elemento, este post trata del tercer nivel.
Diagrama de Fuerzas Internas en Vigas: El Método del Corte o de Secciones.
La herramienta clave analitica es sencilla: Cortar el elemento de forma imaginaria en el punto que nos interesa y dibujar un diagrama de cuerpo libre de cada parte, para que ambas porciones sigan en equilibrio, en la sección del corte deben aparecer fuerzas que antes eran internas. Esas son las que buscamos.
Por la tercera ley de Newton, las fuerzas que actúan sobre una parte son iguales y opuestas a las que actúan sobre la otra, por eso, al presentar resultados siempre debes indicar sobre cuál de las dos partes estás mostrando las fuerzas.
Principios Básicos del Método del Corte o de Secciones
Este principio se basa en realizar un corte imaginario para evaluar las fuerzas internas mediante el equilibrio estático, adaptando el procedimiento según los diferentes casos de carga y geometría del elemento.
Caso 1: El elemento recto de dos fuerzas
Imagina una barra recta AB con una fuerza F en un extremo y otra igual y opuesta en el otro. Si la cortas en un punto C, para que cada pedazo siga en equilibrio hace falta una fuerza axial de magnitud F en la sección cortada.
Las fuerzas internas son entonces puramente axiales, y su magnitud F no depende de dónde hagas el corte, a ese valor se le llama simplemente la fuerza en el elemento. Hay dos posibilidades:
– Tensión: El elemento tiende a estirarse.
– Compresión: El elemento tiende a acortarse.
Caso 2: Elementos con varias fuerzas
Las cosas se complican cuando el elemento soporta cargas en varios puntos, como el brazo de una grúa. Al cortarlo en un punto «J», ya no basta una fuerza axial, para equilibrar la porción cortada hacen falta tres cosas:
| Componente | Nombre Técnico | ¿Qué produce? | Definición Sencilla | Efecto en la Estructura | Fórmula de Esfuerzo Relacionada |
|---|---|---|---|---|---|
| Fuerza F (o \(N\)) | Fuerza Axial | Tensión o compresión | Actúa de forma paralela y a lo largo del eje longitudinal del elemento. | Estira (tensión) o aplasta (compresión) el material. | Esfuerzo Normal (σ): σ = F / A (Fuerza / Área) |
| Fuerza V | Fuerza Cortante | Corte (Cizalladura) | Actúa en dirección perpendicular al eje del elemento. | Intenta deslizar o «rebanar» una sección de la estructura sobre la otra. | Esfuerzo Cortante Promedio (τ): τ = V / A (Fuerza / Área) |
| Par M | Momento Flector | Flexión | Es un efecto de rotación o giro que intenta curvar el elemento. | Dobla la barra, haciendo que un lado se estire (tensión) y el lado opuesto se comprima. | Esfuerzo por Flexión (σf): σf = (M * c) / I (Fórmula de la flexión) |
En conjunto, las fuerzas internas en J equivalen a un sistema fuerza-par, es decir, además de estirar o comprimir, el elemento también tiende a deslizar una sección respecto a otra (corte) y a curvarse (flexión). Cómo se deforma exactamente el material pertenece al campo de la Mecánica de Materiales.
Esto también aplica a elementos de dos fuerzas que no son rectos: al cortarlos, las fuerzas internas igualmente equivalen a un sistema fuerza-par.
Dos Estructuras Protagonistas las Vigas y los Cables
Vigas
Son elementos prismáticos, rectos y largos, diseñados para soportar cargas aplicadas en distintos puntos a lo largo de su longitud. Están por todas partes: en techos, pisos, puentes y marcos, su análisis consiste en determinar cómo varían la fuerza cortante y el momento flector a lo largo de la viga, y de ahí salen los famosos diagramas de cortante y momento.
Cables
Son elementos flexibles que solo pueden soportar tensión, no resisten compresión ni flexión, y justamente por eso su análisis es particular, se diseñan para cargas concentradas o distribuidas y se usan en puentes colgantes, líneas de transmisión, teleféricos y más.
Ideas Clave para Recordar las Fuerzas Internas en Vigas y Cables
> Las fuerzas internas se revelan cortando mentalmente el elemento y aplicando equilibrio.
> En un elemento recto de dos fuerzas, las fuerzas internas son solo axiales (tensión o compresión).
> En cualquier otro caso aparecen también fuerza cortante y momento flector.
> Las vigas soportan cargas a lo largo de su longitud; los cables solo trabajan en tensión.
> Siempre indica sobre qué porción del elemento actúan las fuerzas que dibujas.
Desarrollo Básico de las Ecuaciones de fuerzas Internas en Vigas y Cables
1. Ecuaciones de Equilibrio en el Corte
Al cortar un elemento en un punto J, cada porción debe estar en equilibrio. Para una porción plana con cargas externas conocidas se plantea:
Por ejemplo, si la porción JD de un elemento recibe una fuerza T con componentes Tx (a lo largo del elemento) y Ty (perpendicular), aplicada a una distancia d de J:
Las fuerzas en la otra porción (AJ) son iguales y opuestas, por la tercera ley de Newton.
2. Convención de Signos en Vigas
- Cortante V positivo: Tiende a hacer girar el segmento en sentido horario.
- Momento M positivo: Flexiona la viga con concavidad hacia arriba (comprime la parte superior).
3. Vigas: V(x) y M(x)
Procedimiento:
- Calcular las reacciones con ΣFy = 0, ΣM = 0 en la viga completa.
- Cortar a una distancia x del extremo izquierdo.
- Aplicar equilibrio a la porción izquierda.
4. Relaciones entre Carga, Cortante y Momento
Tomemos un segmento diferencial de longitud dx con carga distribuida w(x) hacia abajo, en la cara izquierda actúan V y M, y en la derecha V + dV y M + dM.
Equilibrio vertical:
Equilibrio de momentos (respecto a la cara derecha, despreciando términos de segundo orden):
Forma integral entre dos puntos C y D:
Reglas prácticas:
- Donde V = 0, el momento M tiene un máximo o mínimo local.
- Una carga puntual produce un salto en V igual a su magnitud.
- Un par aplicado produce un salto en M.
5. Cables
Un cable solo soporta tensión, así que cada tramo se analiza con equilibrio de fuerzas (sin momentos internos).
5.1 Cable con cargas concentradas
En cada punto de carga, con tensión T y ángulo θ respecto a la horizontal:
La geometría (flecha, distancias) aporta las ecuaciones restantes para hallar los ángulos y tensiones.
5.2 Cable con carga uniforme por unidad de longitud horizontal (puente colgante)
Se toma el punto más bajo como origen, en un tramo de longitud horizontal x actúan T₀ (horizontal en el punto bajo), la carga W = w·x y la tensión T en el extremo:
Como tanθ = dy/dx, integrando se obtiene una parábola:
Para un cable simétrico de claro L y flecha h:
5.3 Cable con peso propio (catenaria)
Si la carga w es por unidad de longitud del cable (como una línea de transmisión), se define c = T₀/w. La ecuación diferencial da la catenaria:
Últimas Palabras
Entender las fuerzas internas es el puente entre la estática y el diseño real: antes de elegir un material o una sección, hay que saber a qué esfuerzos estará sometido cada punto del elemento. En los próximos artículos podemos profundizar en los diagramas de cortante y momento en vigas, y en el comportamiento de cables bajo cargas concentradas y distribuidas.
Resumen de Ecuaciones Clave para la Solución de Problemas de Fuerzas Internas en Cables y Vigas
La siguiente tabla muestra las fórmulas esenciales para el análisis estructural de vigas y cables sometidos a diversas cargas, su objetivo es facilitar el cálculo rápido de momentos, deflexiones y tensiones en proyectos de ingeniería.
| Concepto | Ecuación |
|---|---|
| Equilibrio en el corte | ΣFx = ΣFy = ΣM = 0 → F, V, M |
| Carga–cortante | dV/dx = −w |
| Cortante–momento | dM/dx = V |
| Viga con carga uniforme | M_máx = wL²/8 |
| Cable parabólico | y = w·x²/(2T₀), T₀ = wL²/(8h) |
| Catenaria | y = c·cosh(x/c), T = w·y |
Los Siguientes Ejercicios de Fuerzas Internas en Vigas y Cables son del Libro, Mecanica Vectorial Para Ingenieros Estática, by BEER, JOHNSTON
Esta serie de ejercicios resueltos ilustra la aplicación práctica de los métodos de equilibrio para calcular y diagramar las fuerzas internas en vigas y cables.
Para el armazón y la carga del problema siguiente (ver figura 6.99), determine las fuerzas internas en el punto J localizado a la mitad de la distancia entre los puntos B y E.