Ecuación de la Elipse: Ejercicios Resueltos y Fórmulas.

Definición Formal y Fundamentos La Elipse

Se define formalmente como el lugar geométrico de todos los puntos P(x, y) en el plano cartesiano tales que la suma de sus distancias a dos puntos fijos, llamados focos (F1) y (F2), es constante y siempre mayor que la distancia entre dichos focos.

Elementos Fundamentales de la Elipse:

Focos (F1, F2): Puntos fijos sobre el eje focal.

Distancia focal: 2c (entre ambos focos).
Distancia del centro a cualquier foco: c.

Vértices (V1, V2): Puntos de intersección de la elipse con su eje focal.

- Longitud del eje mayor: 2a (entre ambos vértices).
- Distancia del centro a un vértice: a.
- Eje Menor (B1, B2): Segmento perpendicular al eje mayor que pasa por el centro.
  - - Longitud del eje menor: 2b (entre ambos extremos).
    - Distancia del centro a un extremo: b.

Condición Geométrica Intrínseca

En toda elipse se cumple rigurosamente la relación pitagórica entre sus semiejes:

a²=b² + c²

Condición: a > b > 0 y a > c > 0 (el semieje mayor a siempre es la hipotenusa).

Fórmulas Base de la Elipse (Centro en el origen (0,0)

La siguiente tabla compara las ecuaciones y coordenadas según la orientación del eje focal:

Aplicación de la Elipse en la Ingeniería

En la práctica de la ingeniería, la elipse posee propiedades geométricas y reflexivas críticas:

Ingeniería Aeroespacial y Mecánica (Leyes de Kepler): Las órbitas de los planetas y satélites artificiales alrededor de un cuerpo celeste son elípticas, donde el centro de masa del cuerpo atractor ocupa uno de los focos. El cálculo de trayectorias requiere el dominio analítico de esta curva.

Ingeniería Estructural (Diseño de Arcos y Puentes): Los arcos elípticos distribuyen las fuerzas de compresión de manera más uniforme que las formas rectangulares bajo cargas específicas, se emplean en túneles y bóvedas para optimizar el uso de materiales (concreto, acero) y resistir momentos flexionantes.

Ingeniería de Telecomunicaciones y Acústica (Propiedad de Reflexión): Cualquier onda (lumínica, sonora o electromagnética) que se emita desde un foco de la elipse e incida sobre su superficie interna, se reflejará directamente hacia el otro foco. Esto fundamenta el diseño de reflectores elípticos en antenas de satélite de doble foco (como los sistemas Cassegrain modificados) y en dispositivos médicos de litotricia (para desintegrar cálculos renales mediante ondas de choque concentradas).

Deducción Matemática de la Ecuación de la Elipse/ Demostración:

A continuación, deduciremos formalmente la ecuación ordinaria (canonica) de la elipse con centro en el origen O (0,0) y eje focal coincidente con el eje X.

1.- Definición geométrica en coordenadas cartesianas

Sea un punto genérico P(x, y) sobre la elipse, los focos se ubican en los puntos F₁(-c, 0) y F₂(c, 0). Por definición geométrica, la suma de las distancias desde cualquier punto de la elipse a los dos focos es constante e igual a 2a:

d(P,F1) + d(P,F2) = 2a

Aplicando la fórmula de distancia entre dos puntos en el plano cartesiano:

2.-Transponiendo un radical tenemos:

Para simplificar la ecuación, transponemos el segundo radical al miembro derecho:

3.- Elevamos ambos miembros al cuadrado y obtenemos:

Elevamos al cuadrado ambos lados de la igualdad para eliminar el primer radical:

Desarrollando el binomio al cuadrado en el lado derecho mediante la identidad (A – B)² = A² – 2AB + B². Al expandir los términos (x+c)² y (x-c)² obtenemos:

4.- Expansión algebraica y simplificación

Expandimos los binomios al cuadrado de los términos que contienen a x:

Restamos los términos comunes x², c² y y² en ambos lados de la ecuación:

Transponemos -2cx al lado izquierdo y aislamos el término con el radical en el miembro izquierdo:

Dividimos toda la ecuación entre 4 para simplificar los coeficientes:

5.- Elevar nuevamente al cuadrado

Elevamos una vez más ambos miembros al cuadrado para eliminar el radical restante:

Desarrollamos el binomio interno y distribuimos a² en el lado izquierdo:

6.- Agrupación de variables y sustitución fundamental

Cancelamos el término -2a²cx presente en ambos miembros de la igualdad:

Agrupamos los términos con las variables x e y en el lado izquierdo, y las constantes en el derecho:

Factores comunes por agrupación:

Utilizando la relación pitagórica fundamental de la elipse (a² = b² + c²), de donde tenemos que a² – c² = b², sustituimos el término (a² – c²) por b²:

7.- Obtención de la forma canónica de la elipse

Dividimos cada término de la ecuación por el producto escalar constante a²b² (asumiendo que a ≠ 0 y b ≠ 0):

Simplificando las fracciones, obtenemos finalmente la ecuación canónica de la elipse:

Restricción geométrica fundamental (Ejes mayor y menor):

a>b>0

Relación de distancias (Teorema de Pitágoras de la elipse):

a² = b² + c²

Excentricidad (Grado de achatamiento):

e = c/a (donde 0<e<1)

Longitud del Lado Recto (Ancho de la elipse en los focos):

LR = 2b²/a

Los Siguientes Problemas Resueltos de la Elipse son del Libro GEOMETRÍA ANALÍTICA de CHARLES H. LEHMANN

GA Ejercicio 27.1GA Ejercicio 27.2GA Ejercicio 27.3GA Ejercicio 27.4GA Ejercicios 27.5GA Ejercicio 27.6GA Ejercicio 27.7GA Ejercicio 27.8GA Ejercicio 27.9GA Ejercicio 27.10

Deducir la ecuacion ordinaria (x²/b²) + (y²/a²) = 1 a partir de la definición de la elipse.

Desarrollar una discusión completa de la ecuación ordinaria (x²/b²) + (y²/a²) = 1

Dados los focos y la longitud de su eje mayor, demostrar un procedimiento para obtener puntos de una elipse usando escuadras y compás.

Demostrar un procedimiento para obtener puntos de una elipse usando escuadra y compás si se conocen sus ejes mayor y menor.

Demostrar que la circunferencia es un caso particular de la elipse cuya excentricidad vale cero.

En cada uno de los ejercicios 6-9, hallar las coordenadas de los vertices y focos. las longitudes de los ejes mayor y menor, la excentricidad y la longitud de cada uno de sus lados rectos de la elipse correspondiente. Trazar y discatir el lugar geométrico 9x² + 4y² = 36.

En cada uno de los ejercicios 6-9, hallar las coordenadas de los vertices y focos. las longitudes de los ejes mayor y menor, la excentricidad y la longitud de cada uno de sus lados rectos de la elipse correspondiente. Trazar y discatir el lugar geométrico 4x² + 9y² = 36.

En cada uno de los ejercicios 6-9, hallar las coordenadas de los vertices y focos. las longitudes de los ejes mayor y menor, la excentricidad y la longitud de cada uno de sus lados rectos de la elipse correspondiente. Trazar y discatir el lugar geométrico 16x² + 25y² = 400.

En cada uno de los ejercicios 6-9, hallar las coordenadas de los vertices y focos. las longitudes de los ejes mayor y menor, la excentricidad y la longitud de cada uno de sus lados rectos de la elipse correspondiente. Trazar y discatir el lugar geométrico x² + 3y² = 6.

Ejercicios Resueltos de la Elipse en Geometría Analítica